PERCHE’ PREFERIRE LE FORMAZIONI ORDINATE ANZICHE’ QUELLE CASUALI

Si parla sovente di gruppi di numeri aventi, per singola formazione, tutti la stessa somma, come ad esempio le sestine di “somma 273” riportate, come d’abitudine, a pag. 12. Ma, con i 90 numeri, quante di queste formazioni (cioè contenenti tutti i 90 numeri, nessuno escluso e nessuno ripetuto nonché aventi tutte una data somma) si possono formare?
Innanzi tutto, per arrivare alla meta che ci prefiggiamo dobbiamo calcolare la somma che si ottiene addizionando tutti i numeri dell’urna:

90 + 89 + 88 + ... + 3 + 2 + 1 = 4095

Scomponendo poi in fattori primi sia 4095 (somma totale) che 90 (numeri del Lotto) otteniamo:
4095 = 5 x 3exp2 x 7 x 13
    90 = 2 x 5 x 3exp2
e veniamo così a scoprire che il loro M.C.D. = 3exp2 x 5 (*) e che perciò i numeri che dividono esattamente, senza cioè dare resto, entrambi i fattori sono: 3 - 5 - 9 - 15 - 45 -. Abbiamo fatto tutti questi calcoli perché il numero delle formazioni e la somma che queste devono dare è un ”compromesso” tra i 90 numeri dell’urna e la loro somma totale. Tornando ai nostri risultati: 3 - 5 - 9 - 15 - 45, essi non sono altro che le diverse quantità per cui dividere sia la somma totale che i 90 numeri del Lotto per ottenere la somma di ogni serie e le quantità di numeri che le compongono. Vediamo meglio in pratica:

1° caso: dividendo entrambi i nostri fattori per 3:

    4095 : 3 = 1365 (somma della serie)
        90 : 3 =     30 (numeri per serie)

Otterremo così 3 trentine (serie di 30 numeri l’una), aventi tutte per somma 1365:
1° trentina:
1.6.7.12.13.18.19.24.25.30.31.36.37.42.43.48.
49.54.55.60.61.66.67.72.73.78.79.84.85.90
2° trentina:
2.5.8.11.14.17.20.23.26.29.32.35.38.41.44.47.
50.53.56.59.62.65.68.71.74.77.80.83.86.89
3° trentina:
3.4.9.10.15.16.21.22.27.28.33.34.39.40.45.46.
51.52.57.58.63.64.69.70.75.76.81.82.87.88

Questo tipo di formazione è stata calcolata in linea puramente teorica in quanto non è possibile giocare 30 numeri su una sola bolletta, e comunque darebbe un premio irrisorio.

2° caso: dividendo entrambi i nostri fattori per 5:

    4095 : 5 = 819 (somma della serie)
        90 : 5 =   18 (numeri per serie)

Perciò avremo 5 diciottine aventi ciascuna per somma 819:
1.10.11.20.21.30.31.40.41.50.51.60.61.70.71.80.81.90
2.  9.12.19.22.29.32.39.42.49.52.59.62.69.72.79.82.89
3.  8.13.18.23.28.33.38.43.48.53.58.63.68.73.78.83.88
4.  7.14.17.24.27.34.37.44.47.54.57.64.67.74.77.84.87
5.  6.15.16.25.26.35.36.45.46.55.56.65.66.75.76.85.86

Anche le diciottine sono state calcolate solo teoricamente e non sono giocabili su una bolletta (ricordiamo a questo proposito che con la riforma il massimo di numeri accettati per ogni biglietto è di 10).

Continuando con lo stesso metodo otteremo:

3° caso: 9 decine aventi somma 455:
1.18.19.36.37.54.55.72.73.90
2.17.20.35.38.53.56.71.74.89
3.16.21.34.39.52.57.70.75.88
4.15.22.33.40.51.58.69.76.87
5.14.23.32.41.50.59.68.77.86
6.13.24.31.42.49.60.67.78.85
7.12.25.30.43.48.61.66.79.84
8.11.26.29.44.47.62.65.80.83
9.10.27.28.45.46.63.64.81.82

4° caso: 15 sestine aventi somma 273:
  1.30.31.60.61.90
  2.29.32.59.62.89
  3.30.31.60.61.90
  4.27.34.57.64.87
  5.26.35.56.65.86
  6.25.36.55.66.85
  7.24.37.54.67.84
  8.23.38.53.68.83
  9.22.39.52.69.82
10.21.40.51.70.81
11.20.41.50.71.80
12.19.42.49.72.79
13.18.43.48.73.78
14.17.44.47.74.77
15.16.45.46.75.76

5° caso: 45 ambi con somma 91:
  1.90 -  2.89 -   3.88 -   4.87 -   5.86 -  6.85 -   7.84 -  8.83 -   9.82
10.81 - 11.80 - 12.79 - 13.78 - 14.77 - 15.76 - 16.75 - 17.74 - 18.73
19.72 - 20.71 - 21.70 - 22.69 - 23.68 - 24.67 - 25.66 - 26.65 - 27.64
28.63 - 29.62 - 30.61 - 31.60 - 32.59 - 33.58 - 34.57 - 35.56 - 36.55
37.54 - 38.53 - 39.52 - 40.51 - 41.50 - 42.49 - 43.48 - 44.47 - 45.46

Sono tutti e soli i gruppi possibili aventi tali requisiti. Le uniche variabili compatibili (escludendo il 5° caso) sono quelle di sostituire 2 numeri all’interno di una delle altre serie con altri 2 numeri pari somma: - esempio: se nel 3° caso si volesse sostituire i primi numeri 1.18 con 2.17, facendo scivolare le colonne in rosso di un posto rispetto alla prima otterremmo:

2.17.19.36.37.54.55.72.73.90

3.16.20.35.38.53.56.71.74.89

4.15.21.34.39.52.57.70.75.88

5.14.22.33.40.51.58.69.76.87

6.13.23.32.41.50.59.68.77.86

7.12.24.31.42.49.60.67.78.85

8.11.25.30.43.48.61.66.79.84

9.10.26.29.44.47.62.65.80.83

1.18.27.28.45.46.63.64.81.82

formando un nuovo gruppo di pari requisiti di quello di partenza. Anziché far scivolare le prime due colonne di numeri si può fare scivolare la terza e la quarta, oppure la nona e la decima, o qualsiasi altra coppia di colonne i cui componenti mantengano la stessa somma.
All’interno dei singoli gruppi di somma è così possibile scegliere quelli aventi più caratteristiche di simmetria e di ordinamento (esempio: si noti che le diciottine ottenute sono formate ciascuna da due sole cadenze; le decine presentate invece sono formate ognuna di due sole figure, di cinque coppie di somma “91”, di cinque coppie equidistanti, e di altre caratteristiche ancora che sarebbe troppo lungo enumerare).
I ritardi in tali tipi di formazioni ordinate sono notevolmente contenuti rispetto alle altre combinazioni non aventi pari requisiti.